PARTE
PRIMA
LA NUOVA GEOMETRIA DELLA NATURA
"... un'ampia famiglia di oggetti geometrici
ritenuti fino ad oggi esoterici e inutilizzabili,
e che io invece mi propongo di dimostrare che meritano
di essere presto integrati nella geometria elementare in
ragione della semplicità,
della diversità e della portata davvero straordinarie
delle loro nuove applicazioni."
(Benoit B. Mandelbrot)
1 - INTRODUZIONE STORICA
"La filosofia è scritta in questo grandissimo libro
che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io
dico l'universo)...Egli è scritto in lingua
matematica..." Galileo Galilei, il Saggiatore, 1623
Galileo aveva determinato fino ad alcuni anni fa, con la
sua capacità di astrarre dal reale, l'impostazione
scientifica del mondo, che è stata sempre presentata
come unico modo di ragionare del moderno scienziato.
In realtà la novità della scienza galileiana non
consiste tanto nel metodo dell'osservazione, quanto nella
matematizzazione dell'esperimento e dell'ipotesi
esplicativa; matematizzazione che al tempo di Galileo si
realizzò anzitutto come geometrizzazione della scienza.
Questo metodo utilizza il linguaggio matematico
(geometrico) per formulare le proprie domande alla natura
e per interpretarne le risposte.
Nel mondo della nostra esperienza quotidiana le figure
geometriche sono un'eccezione, la maggior parte presenta
aspetti meno precisi e poco lineari. Sebbene per Galileo
anche le forme delle montagne, delle nuvole e di un
sasso, rientrassero sotto l'impero della geometria, la
scienza ha preferito evolversi con la ricerca delle
caratteristiche più nascoste dei fenomeni.
Sono passati più di trecentocinquanta anni prima di
maturare una visione scientifica della natura ed una
elaborazione del concetto di " FRATTALE ",
superando la restrizione galileiana.
Nel 1984 Benoit Mandelbrot affermava << Vi sarete
forse domandati perché la geometria sia così spesso
considerata fredda e arida... nubi sferiche come palloni
e montagne coniche, a punta di matita, non fanno parte
del panorama fisico... La complessità che si osserva in
natura segna una differenza qualitativa, rispetto alla
geometria ordinaria.
Il numero di scale di lunghezza che si presentano è,
infatti, praticamente infinito.>>.
Fin dai tempi di Euclide si affermava che una linea ha
una dimensione, un piano due e un solido tre. Nel secolo
scorso si sono sviluppate geometrie non euclidee che
hanno aggiunto altre dimensioni, a quelle classiche, sino
all'infinito, rendendo possibile la formulazione della
teoria della relatività generale di Einstein.
Nessuno però si era azzardato a chiedersi cosa succede
nel salto tra una dimensione e l'altra. Anzi nessuno si
era mai immaginato che vi fosse qualcosa da studiare tra
una dimensione e l'altra.
Con questa evoluzione spontanea delle matematiche
nascevano "Mostri" che violavano quelle
caratteristiche di regolarità e di armonia che
sembravano necessarie agli oggetti di studio scientifico.
Il matematico italiano Giuseppe Peano ideò la famosa
curva, realizzata nel 1890, capace di riempire tutta una
superficie.
Riemann e Weierstrass hanno introdotto funzioni continue
che non ammettono derivate in nessun punto.
Altri matematici illustri, come Cantor, Hausdorff, Koch e
Sierpinski, elaborarono costruzioni geniali ma senza
riuscire a sviluppare una visione unitaria.
In tal modo si era creato uno scontro molto sentito dai
matematici e fisici, da una parte i fenomeni che non
vengono trattati scientificamente perché non era
possibile, almeno apparentemente, ricondurli ad uno
schema matematico, dall'altra un gruppo di
"orrori" che veniva considerato importante solo
per definire alcuni concetti di base, ma senza alcun
interesse applicativo alle scienze naturali.
Gli studi di Mandelbrot sui frattali hanno permesso di
riorganizzare questo nuovo mondo matematico e di
plasmarlo per adattarlo alle esigenze della scienza.
Nel 1975 Mandelbrot coniò la parola "FRATTALE"
per dare un titolo al suo primo saggio. In seguito
all'idea straordinaria delle dimensioni frazionarie,
Mandelbrot è riuscito a misurare ciò che
precedentemente sfuggiva; ha ideato una formula che
permette di calcolare la dimensione frazionaria di
qualsiasi forma. Questa dimensione frazionaria descrive
matematicamente una proprietà essenziale dei frattali:
l' AUTOSOMIGLIANZA, il frattale presenta sempre gli
stessi caratteri globali, a qualunque scala lo si
osservi.
Gli studi di Mandelbrot sui frattali portarono alla
realizzazione grafica con il computer e alla descrizione,
nel 1980, di quel meraviglioso insieme che porta il suo
nome, isola di forma cardioide (Fig. 1.8). Mandelbrot
comprese l'importanza dei lavori di Julia e Fotou, dei
primi anni del secolo, inquadrandoli nel mondo dei
frattali e realizzandoli graficamente.
Lo sviluppo dei frattali ha subito un notevole impulso
con l'avvento della "Computer graphics" e ha
mostrato tutta la bellezza delle immagini realizzate con
la matematica frattale.
La maturazione nei secoli dei concetti di
"CAOS" e "PREDICIBILITA'" sono
indispensabili alla nuova matematica non euclidea.
L'osservazione del moto ricorrente dei corpi celesti, del
cielo stellato e il regolare avvicendarsi delle stagioni
hanno spinto l'uomo a cercare leggi che stanno alla
radice di questi fenomeni e a predire fatti. Gli studi di
Newton portarono ad affermare che la dinamica del moto
dei corpi celesti e dei corpi che ci circondano è
esattamente deterministico.
P.S. de Laplace (1776) concepiva il determinismo come
probabilità di conoscere esattamente lo stato futuro di
un sistema a partire dalla determinazione precisa del suo
stato attuale.
Henri Poincar‚ (1903) aveva già iniziato ad
occuparsi del problema della predicibilità. Aveva
compreso che il determinismo delle leggi fisiche non
permetteva la previsione dei fenomeni naturali, ed
elaborò una TEORIA DELLA TURBOLENZA. Una causa
piccolissima, che sfugga alla nostra attenzione,
determina un effetto considerevole, allora diciamo che
l'effetto è dovuto al caso.
Nel 1963 Edward Lorenz, meteorologo del Massachussetts
Institute of Tecnology, aveva pubblicato un modello
semplificato di fluido in cui era chiaramente messo in
evidenza la rapida crescita degli errori in funzione
delle condizioni iniziali.
Nel 1971 F. Takens e D. Ruelle avanzarono l'ipotesi che
la turbolenza idrodinamica era rappresentata da
attrattori strani, oggetti matematici che descrivono
evoluzioni temporali con dipendenza dalle condizioni
iniziali.
Le teorie moderne sulla turbolenza trovano corrispondenza
nell'anticipazione di Poincar‚. Possono essere
applicate in molteplici campi, che non appartengono solo
alla fisica, ma anche alla chimica , all'ecologia,
all'economia ed alla biologia.
2 - CONCETTI GENERALI
La disposizione dei rami di un albero, la fiamma di un
fuoco, un paesaggio montano, la forma delle nubi, la
struttura ramificata dei vasi sanguigni, e tanti altri
oggetti in natura mostrano la presenza di leggi naturali
estremamente raffinate e complesse, che nell'apparente
irregolarità manifestano un sottile e perfetto ordine
soggiacente.
Non è possibile esprimere questa apparente irregolarità
con linee, piani, cerchi e sfere della geometria classica
euclidea, che si presta maggiormente a descrivere il
mondo artificiale realizzato dall'uomo.
Osservando attentamente le forme naturali, è possibile
notare che molte di esse, nonostante la loro forma
irregolare, presentano una importante caratteristica che
è oggetto di una nuova geometria.
La natura è piena di forme che si presentano più volte
su scala diversa nello stesso oggetto. Un frammento di
roccia ricorda la forma della montagna da cui è stato
staccato; il ramo di un albero presenta la stessa
ramificazione del tronco che lo sostiene; le nubi
presentano un aspetto caratteristico osservabile sia da
terra che in posizione più ravvicinata; le ramificazioni
dei vasi sanguigni sono presenti sia a livello dei grossi
tronchi che nei vasi di piccolo calibro. In tutti questi
sistemi non basta aumentare l'ingrandimento per cambiare
la struttura e l'irregolarità. Queste strutture tendono
a mostrare sempre lo stesso grado di irregolarità ai
vari ordini di grandezza.
Il termine " FRATTALE " , ideato da Mandelbrot,
indica le forme auto-simili, irregolari e frammentate. I
frattali sono formati da strutture sempre più piccole,
una dentro l'altra, che si somigliano, anche se non
identiche, a varie scale e ordine di grandezza.
I frattali sono molto di più che una semplice curiosità
matematica, essi offrono un metodo molto conciso e
completo per descrivere oggetti, formazioni e fenomeni. I
frattali sono prima di tutto un linguaggio della
geometria, tuttavia i loro elementi fondamentali non
possono essere osservati direttamente. Essi non si
esprimono mediante forme primarie, ma mediante algoritmi,
cioè procedure matematiche. Questi algoritmi vengono
riprodotti in immagini con l'aiuto di un calcolatore.
Poiché la possibilità di realizzare algoritmi è
praticamente inesauribile, quando si è compreso il
linguaggio frattale è possibile descrivere e realizzare
modelli di numerosi oggetti e fenomeni naturali, con la
precisione e la semplicità con cui un architetto
descrive una casa mediante una pianta.
La geometria frattale non vuole dimostrare che la
geometria classica euclidea sia sbagliata, cerca
semplicemente di rappresentare o spiegare determinati
aspetti della realtà, che non è possibile fare con la
geometria euclidea.
Questa nuova geometria introduce un gruppo di forme
necessarie per rappresentare un vasto campo di oggetti
irregolari, fornendo ai matematici e agli scienziati un
metodo nuovo per produrre ed esplorare la natura.
I frattali e la "Computer graphics" sono
necessariamente legati tra loro. La grafica al computer
fornisce un comodo sistema per realizzare e studiare gli
oggetti frattali. Con il computer è possibile eseguire
rapidamente e con precisione tutte quelle operazioni
ripetitive necessarie a realizzare poi graficamente le
immagini frattali.
La geometria frattale fornisce anche un modo elegante e
semplice di disegnare realisticamente sullo schermo video
gli oggetti naturali, ciò è possibile con una formula
relativamente semplice e pochi paramentri numerici, cosa
che richiederebbe un programma molto lungo e tempi enormi
se utilizzassimo la geometria euclidea.
Le leggi della fisica classica sono deterministiche,
cioè se si conosce lo stato di un sistema in un istante
, è possibile determinare lo stato di quel sistema in un
qualsiasi istante successivo. Questo concetto sembra in
contraddizione con l'esperienza quotidiana, molti fatti
sembrano avvenire a caso, in modo assolutamente
imprevedibile.
Una impostazione matematica dei sistemi governati da
leggi fisiche mostra una forma di comportamento molto
irregolare che oggi viene chiamato " CAOS ".
Nel linguaggio matematico la parola caos ha un
significato particolare, di ordine nel disordine, e non
di puro disordine. Il termine caos compare in molti
sistemi: elettronici di turbolenza, economici, biologici,
a livello atomico-molecolare, nelle trasmissioni.
Per studiare il comportamento caotico è necessario
studiare il modo in cui un sistema si comporta nel tempo.
Le condizioni di un sistema sottoposto a variabili non
lineari dipendono in genere da quelle iniziali; una
minima variazione di uno dei valori di partenza può
determinare una grande variazione del risultato. Quindi
il futuro di un sistema è sempre determinato dal
passato, e questo conferma i principi della fisica
classica, ma in pratica le piccole indeterminatezze delle
numerose variabili vengono amplificate e il comportamento
a lungo termine diventa imprevedibile, pur essendo
prevedibile nell'immediato futuro.
Il comportamento caotico negli oggetti e nel mondo
microscopico non segue le leggi della fisica valide per
il mondo macroscopico; a livello atomico-molecolare sono
valide solo le leggi della meccanica quantistica. Anche
nella meccanica quantistica si manifesta il caos
deterministico.
Quale utilità può avere lo studio del caos e sapere che
il comportamento della gran parte dei sistemi
deterministici è in realtà caotico, e quindi si
sottraggono alla nostra capacità di previsione? E'
importante far notare che leggi semplici non portano
necessariamente a comportamenti semplici. Anche se spesso
non siamo in grado di prevedere l'evoluzione di un
fenomeno, tuttavia lo studio del caos ci può far capire
in quali condizioni possiamo ottenere un tipo di
comportamento invece di un altro. Proprio studiando il
caos è possibile valutare i parametri esterni che
determinano un comportamento lineare o caotico.
Anche se non possiamo prevedere l'evoluzione futura di un
fenomeno, possiamo però stimare e calcolarne
l'imprevedibilità.
3 - I FRATTALI
Il termine " FRATTALE " è stato ideato da
Mandelbrot, deriva dal latino " FRACTUS "
(interrotto, irregolare), e nel 1983 si diffuse
notevolmente fra i matematici. Questa parola "
FRATTALE " si riferisce alle forme auto-simili,
irregolari e frammentate. Sinonimo di frattale è un
altro neologismo: " OGGETTO FRATTALE ".
Molti oggetti in natura hanno una regolarità geometrica
soggiacente, anche se apparentemente sembrano totalmente
irregolari.
Se si esaminano questi oggetti a scale diverse si
incontrano sempre gli stessi elementi fondamentali.
Possiamo dire che gli oggetti frattali presentano una
" AUTOSOMIGLIANZA " o " OMOTETIA "
alle diverse scale. La nuova scienza matematica che
studia i frattali si chiama " GEOMETRIA FRATTALE
".
I frattali possiedono una proprietà sorprendente: hanno
una dimensione espressa da un numero che può essere non
intero, compreso tra 1 e 2 o tra 2 e 3. Contrariamente
alle forme della geometria classica con dimensione
strettamente intera (una linea ha 1 dimensione, una
figura piana ha 2 dimensioni, un solido 3 dimensioni) una
figura frattale può avere una dimensione, per esempio,
di 1,5 oppure di 2,7.
La struttura ripetitiva dei frattali è misurata dalla
" DIMENSIONE FRAZIONARIA ". In tal modo è
possibile descrivere le forme e gli oggetti naturali in
modo più succinto ed esteticamente più valido rispetto
alla geometria tradizionale.
La dimensione frazionaria è un'estensione del concetto
di dimensione normalmente usato per descrivere gli
oggetti ordinari.
Il meccanismo pratico consiste nel calcolare quanti
piccoli oggetti o unità di grandezza definite sono
necessarie per coprire o misurare un oggetto più grande.
Nel caso di oggetti regolari avremo lo stesso valore
qualsiasi sia l'unità di grandezza e a qualsiasi
ingrandimento osserviamo la struttura.
Negli oggetti irregolari le misurazioni cambiano,
aumentano man mano che consideriamo unità di misura
minori a ingrandimenti maggiori; si scopre un numero
sempre maggiore di particolari e si hanno lunghezze
sempre più grandi.
Un esempio classico di misura frattale è dato
dall'interrogativo di Mandelbrot: quanto è lunga la
costa della Bretagna? Se la misuriamo su un atlante, con
la scala richiesta, otterremo un valore, se la
misurazione avviene su carta nautica avremo un valore
maggiore, con misurazioni a scala sempre più grande i
valori della lunghezza aumentano senza limiti.
Le suddette considerazioni suggeriscono che, in
conseguenza dell'autosomiglianza, il semplice concetto di
lunghezza non fornisca più un'adeguata misura
dell'irregolarità di un oggetto.
Da ciò deriva la necessità di una grandezza che
caratterizzi la struttura più o meno regolare di un
oggetto, non escludendo le classiche misure della
geometria classica, ma completandole. Questa nuova misura
è proprio la " DIMENSIONE FRAZIONARIA ".
Il procedimento matematico per calcolare la dimensione
frazionaria di un oggetto è il seguente: 1) si prende
una unità di misura U 2) si prende un oggetto
irregolare, per esempio una linea irregolare AB 3) ad una
misurazione della linea irregolare, con un compasso
aperto U, otterremo una lunghezza L 4) dividiamo l'unità
di misura U in r parti 5) misuriamo nuovamente la linea
irregolare AB con la nuova misura ottenuta U1, che
entrerà N volte in AB 6) la dimensione frazionaria della
linea AB sarà:
D = - Log(N) / Log(1/r)
In pratica questa linea irregolare ha una dimensione un
pò maggiore di una linea a una dimensione.
Lo studio è relativamente semplice per i frattali
regolari, le cose si complicano quando ci si trova di
fronte frattali irregolari, più frequenti in natura. In
questi casi l'autosomiglianza , cioè quella proprietà
di mantenere le stesse caratteristiche strutturali a
scale diverse, spesso è di tipo statistico.
E' possibile dividere i frattali in tre gruppi
principali: frattali lineari, frattali non lineari e
frattali aleatori.
FRATTALI LINEARI Questi frattali sono detti lineari
perché i loro algoritmi hanno la stessa forma di quelli
che definiscono le rette su un piano (contengono solo
termini di primo ordine). Un esempio di frattale lineare,
ottenuto con un algoritmo ricorsivo (a retroazione) è il
Triangolo di Sierpinski (matematico polacco che lo
descrisse nel 1916).
Questo triangolo è autosimile in ciascuna sua parte, che
per quanto piccola contiene un'immagine simile a tutto il
triangolo.
FRATTALI NON LINEARI Questo gruppo di frattali è stato
oggetto di molti studi perché con essi è possibile
produrre una notevole quantità di forme geometriche ed
immagini meravigliose. Per produrre questi frattali
vengono utilizzati i numeri complessi, ciascuno
costituito da un numero reale e da un multiplo di
"i" (unità immaginaria definita come radice
quadrata di -1). I numeri complessi vengono di solito
rappresentati sul piano complesso, assi perpendicolari di
cui uno corrisponde ai numeri reali e l'altro ai numeri
immaginari.
Uno dei più famosi frattali non lineari è stato
realizzato da G. Julia studiando l'immagine prodotta sul
piano complesso dai numeri generati dalla trasformazione:
g(z) = Z^2 + C
In tal modo è possibile realizzare immagini frattali
molto suggestive, che fanno parte dell' INSIEME DI JULIA.
Modificando il valore del parametro C otterremo numerose
forme molto interessanti.
Dall'insieme di Julia è possibile ricavare, con un
preciso procedimento (insieme dei valori che danno
insiemi di Julia connessi, cioè formati da una unica
immagine senza soluzione di continuo), un altro frattale
di ricchezza davvero straordinaria: l' INSIEME DI
MANDELBROT.
L'immagine di questo insieme ha una forma cardioide con
numerose escrescenze autosimili a scale successive, con
una infinità di dettagli sempre più fantastici. Questa
strana figura è una fonte continua di meraviglie e di
interesse per i matematici.
FRATTALI ALEATORI Tutti i frattali finora esaminati
(lineari e non lineari) possono essere considerati
deterministici, cioè generati de eventi matematici ben
determinati.
I frattali aleatori sono generati da almeno una entità
aleatoria (casuale). Per esempio modificando casualmente
il punto medio dei lati di un triangolo, abbassato o
alzato di una quantità scelta a caso, e ripetendo
numerose volte l'iterazione si ottiene una superficie
frattale ricca di particolari.
Questo metodo per costruire superfici ha molte
applicazioni. E' stato impiegato per ottenere modelli di
montagne, di erosione del suolo e per analizzare
registrazioni sismiche. La maggior parte dei frattali in
natura sono di tipo aleatorio.
PRODUZIONE E REALIZZAZIONE DEI FRATTALI
Il modo
più semplice per costruire un frattale ha come punto di
partenza una forma geometrica classica detta INIZIATORE.
Su di esso si fa agire un algoritmo, detto GENERATORE,
che introduce una irregolarità nella forma di partenza.
Si può far agire il generatore più volte, fino
all'infinito, in ogni frazione di figura ottenuta dalla
precedente azione.
Sarebbe impossibile realizzare e disegnare le
innumerevoli azioni del generatore senza l'aiuto di un
calcolatore. Con il computer è possibile eseguire gli
innumerevoli e ripetitivi calcoli in tempi molto brevi.
Inoltre la Computer Graphics ci permette di realizzare
immagini con estrema precisione e con fantastici colori.
E' possibile con il calcolatore eseguire uno "Zoom
elettronico" dell'immagine fino a dimensioni
infinitamente piccole, ed esplorare le più complesse
immagini frattali.
Per i suddetti motivi la geometria frattale ha subito un
notevole sviluppo con l'avvento dei computer negli ultimi
dieci anni.
Precedentemente erano state poste solo le basi teoriche e
prospettati i principali interrogativi.
Con particolari programmi è possibile realizzare gran
parte dei frattali conosciuti, anche con un semplice
personal computer dotato di una scheda grafica.
Barnsley ha cercato di affrontare il problema di trovare
un frattale specifico che corrisponde a un dato oggetto
naturale. con il procedimento delle "TRASFORMAZIONI
AFFINI" (operazioni che prendono una figura a la
deformano in modi prestabiliti) è possibile realizzare
immagini frattali di ogni tipo di oggetto.
ALTRI ESEMPI DI IMMAGINI FRATTALI
-Fiocco di neve di Kock: figura formata da un triangolo
equilatero i cui lati sono stati modificati da altri
triangoli, le stesse modifiche sono praticate più volte
ai lati della figura risultante.
-Spugna di Menger: formata da un cubo suddivisa in 27
cubi più piccoli, asportando il cubo centrale dalle
facce, ripetendo più volte il procedimento ai livelli
minori.
-Immagine di felce: realizzata con le trasformazioni
affini al computer.
-Sbarra di Cantor: trasformazione che inizia da un
segmento di un certo spessore (sbarra) a cui viene tolto
il 1/3 centrale, la stessa operazione viene ripetuta più
volte nei segmenti rimasti.
-Polvere di Cantor: versione tridimensionale dell'insieme
di Cantor.
Questo pulviscolo frattale inizia come un blocco compatto
di materia, che viene suddivisa in blocchi più piccoli,
alcuni di questi (detti TREMA) vengono poi tolti a caso.
Gradualmente questa struttura a gruviera diventa simile
alle gocce d'acqua sparse in una nube.
-Aggregazione per diffusione: struttura frattale prodotta
simulando al calcolatore un processo di aggregazione per
diffusione. Le particelle sono liberate una alla volta da
una zona fuori della figura, lasciandole diffondere verso
il centro fino a venire a contatto l'una con l'altra.
-Albero frattale: immagine arboriforme generata al
calcolatore attraverso ripetizioni di istruzioni.
-Tassellatura di Penrose: struttura di
"mattonelle" che riempiono il piano con
caratteristiche che non variano ne per
"inflazione" (unendo gli spigoli delle
mattonelle si producono figure più grandi) ne per
"deflazione" (ogni mattonella può essere
divisa in più parti).
Ripetendo il procedimento si può giungere a una
tassellatura con infinite parti, o parti infinitamente
più grandi. Questo significa che la tassellatura di
Penrose è autosimile.
4 - DETERMINISMO E CAOS
L'evoluzione di certi sistemi fisici può essere
descritta con relativa semplicità da una equazione
differenziale che lega due diverse grandezze, un sistema
di questo tipo viene detto deterministico. Quando
l'equazione differenziale del sistema non è lineare, il
sistema stesso può avere comportamenti caotici.
In natura alcuni fenomeni sono perfettamente prevedibili
e sono caratterizzati da variazioni rigorosamente
lineari, altri presentano aspetti totalmente
imprevedibili. In questi fenomeni non esiste una chiara
relazione tra causa ed effetto, si dice che contengono
elementi aleatori. A questo tipo di aleatorietà si è
dato il nome di " CAOS ".
Il caos è deterministico, anche se può sembrare un
paradosso, perché è generato da regole fisse, che non
contengono alcun elemento casuale.
Il futuro di un fenomeno è determinato, in teoria,
completamente dal passato, ma in pratica le piccole
indeterminazioni e le piccole influenze esterne vengono
notevolmente amplificate fino a cambiare completamente il
futuro.
L'aspetto matematico del caos è più agevolmente
visibile nello spazio delle fasi, dove ogni dimensione
rappresenta una delle variabili delle equazioni
differenziali relative a un determinato sistema.
E' necessario studiare che cosa accade nello spazio delle
fasi per i vari tipi di equazione. A volte il
"movimento" (il grafico) del sistema è
attirato verso un punto, che viene detto ATTRATTORE.
Per esempio l'immagine del movimento di un pendolo nello
spazio delle fasi (in cui gli assi cartesiani sono la
posizione e la velocità), ipotizzando un'assenza di
attrito permettendo al movimento di continuare
infinitamente, sarebbe un'unica curva chiusa. Nello
spazio delle fasi il movimento periodico corrisponde a un
ciclo detto " CICLO LIMITE " .
Per un sistema si possono avere più attrattori, secondo
le condizioni iniziali il sistema tende a uno o a l'altro
di questi.
L'insieme dei punti da cui si arriva allo stesso
attrattore è chiamato " BACINO DI ATTRAZIONE
".
Gli attrattori possono avere diverse forme, possono
essere geometriche (per esempio toroidale) oppure prive
di regolarità, " ATTRATTORI STRANI ". Sono
stati scoperti attrattori strani nella fisica, nella
chimica e nella biologia.
Gli studi condotti sugli attrattori strani mostrano che
sono frattali e che in genere hanno dimensione maggiore
di 2.
5 - LA TURBOLENZA E IL MESCOLAMENTO DEI FLUIDI
I vortici dell'aria riscaldata, i gorghi nella corrente
di un fiume e le volute di fumo sono esempi di
turbolenza. La caratteristica comune di questi moti è
l'aspetto irregolare, disordinato e caotico della loro
evoluzione nel tempo. Essi sembrano imprevedibili e non
riproducibili, il loro studio appare molto difficile.
Nonostante questa difficoltà la turbolenza è diventata
uno dei campi più studiati con risultati sorprendenti.
Lo studio di questi moti caotici dei fluidi è fatto con
gli specifici attrattori nello spazio delle fasi. Sono
ancora in corso numerosi studi, si pensa di riuscire a
introdurre una valutazione quantitativa della turbolenza
con le caratteristiche proprie degli attrattori strani.
Un comportamento simile alla turbolenza è dato dal
mescolamento dei fluidi. Tale mescolamento è certamente
un processo di estrema complessità, è presente in una
grande varietà di sistemi: nell'ambiente,
nell'industria, in biologia, in medicina.
Nello studio del mescolamento dei fluidi si deve prendere
in considerazione la miscibilità, la velocità e la
turbolenza. Tuttavia non si è sempre in grado di
spiegare tutti gli aspetti del mescolamento. I flussi
bidimensionali dipendenti dal tempo sono caratterizzati
da meccanismi di allungamento e ripiegamento, con una
rappresentazione di tipo caotico. Alcuni autori avrebbero
dimostrato che anche i flussi tridimensionali possono
dare origine ad un aspetto caotico.
Anche il mescolamento di fluidi viscosi si presenta come
aggregazione di flussi caotici semplici. L'immagine
prodotta dalla diffusione di un fluido non viscoso in un
altro molto viscoso, o inversamente uno viscoso in un
altro non viscoso, è caratteristico, si presenta come
una " RAMIFICAZIONE DIGITIFORME" con caratteri
frattali.
6 - I FRATTALI NELLA NATURA
Forme frattali e comportamenti caotici sono ben evidenti
in tutta la natura, spesso quando una forma non ha
l'aspetto frattale dipende dalla nostra incapacità di
estrarne la natura matematica ed autosimile.
I frattali li troviamo nel mondo dei minerali, nei
vegetali, ed anche negli animali. Tale organizzazione non
la riscontriamo solo nella morfologia ma anche nel
comportamento di ogni singolo individuo o di tutta una
popolazione. Sono applicabili le leggi dei frattali anche
nell'economia, nella politica e nelle telecomunicazioni.
Le tecniche iterative, che si inquadrano nella geometria
frattale deterministica, ci permettono di realizzare
modelli matematici degli oggetti naturali. Con queste
tecniche è possibile ricercare una figura frattale che
sia simile all'oggetto in esame, o che almeno ne colga le
caratteristiche fondamentali. Questi modelli, pur
contenendo un numero illimitato di informazioni,
permettono di calcolare e disegnare al calcolatore
immagini di grande complessità. E' possibile realizzare,
per esempio, l'immagine di una quercia, basta modificare
i parametri per far apparire una quercia spoglia o con
una folta chioma verde.
Lo stesso Mandelbrot, definendo questa nuova geometria
frattale LA NUOVA GEOMETRIA DELLA NATURA, dice:
<<...vengono studiati oggetti naturali assai
diversi ricorrendo all'aiuto di un'ampia famiglia di
oggetti geometrici ritenuti fino ad oggi esoterici e
inutilizzabili, e che io invece mi propongo di dimostrare
che meritano di essere presto integrati nelle geometria
elementare in ragione della semplicità, della diversità
e della portata davvero straordinaria delle loro
applicazioni.>>.
7 - I FRATTALI IN MEDICINA
Solo recentemente i fisiologi e i chimici hanno
cominciato a sospettare la possibilità dell'esistenza di
architetture frattali e dinamiche caotiche nell'anatomia,
nella fisiologia e nella patologia umana. Recenti
ricerche stanno mettendo in discussione principi dati per
scontati in medicina e si sono riconosciuti nuovi segni
di malattia.
I principi classici della medicina affermano che la
malattia e la vecchiaia sono il risultato del progressivo
decadimento di un sistema ordinato e deterministico.
Diminuendo l'ordine si vengono ad avere risposte anomale
e irregolari rispetto ai normali ritmi periodici.
Negli ultimi anni è stato scoperto che molti sistemi
fisiologici possono comportarsi erraticamente,
specialmente quando sono giovani e in buona salute.
Invece un aumento della regolarità del funzionamento si
può accompagnare alla malattia e alla vecchiaia.
L'analisi spettrale della frequenza cardiaca normale
mostra un ampio spettro che ricorda una situazione
caotica. La rappresentazione dello spazio delle fasi per
il battito cardiaco normale mostra un comportamento più
simile a un attrattore strano, e quindi caotico, che non
a un attrattore periodico, caratteristico di un processo
regolare.
Queste osservazioni dimostrano che la dinamica cardiaca
normale è di tipo caotico. Questo dipende dal prevalere,
secondo le necessità dell'organismo, di una o dell'altra
delle componenti del sistema nervoso autonomo, che
influenzano la dinamica cardiaca.
Ulteriori osservazioni di diversi autori suggeriscono che
il caos è una caratteristica normale di molte componenti
del sistema nervoso.
Dinamiche caotiche sono state riscontrate anche nelle
variazioni temporali del livello ormonale nei soggetti
sani.
Perché i sistemi caotici sono fisiologici? probabilmente
perché le dinamiche caotiche offrono vantaggi
funzionali, sono flessibili ed adattabili ad un ambiente
imprevedibile e in continua modificazione.
Molte patologie, invece, mostrano un aumento di
periodicità ed una diminuzione di variabilità.
Dal punto di vista morfologico, sia a livello
macroscopico che microscopico, sono molte le strutture
riconducibili ai frattali.
Lo steso Mandelbrot realizzò, con una figura variante
della costruzione di Koché uno schema arborescente del
polmone.
I vasi sanguigni presentano una arborizzazione di tipo
frattale.
I dendriti dei neuroni hanno forme frattali. Osservando
l'intestino tenue a ingrandimenti diversi si pensa ad una
autosomiglianza. La struttura epatica è stata studiata
con la geometria frattale da alcuni medici dell'Arizzona.
Il tessuto epatico è composto da strutture elementari,
gli acini semplici, che si raggruppano a 3 o 4 per
formare gli acini complessi; un livello superiore di
organizzazione è rappresentato da agglomerati di acini
complessi.
Alcuni insiemi possono modificare totalmente il loro
comportamento all'improvviso, quando un singolo parametro
raggiunge un valore critico: per esempio quando un
farmaco raggiunge una determinata concentrazione. In
termini matematici, un simile brusco cambiamento di
comportamento, in risposta ad una piccola alterazione di
parametro, si chiama " BIFORCAZIONE ".
Nel caso dell'epilessia, i ricercatori si chiedono se il
passaggio dal comportamento normale a quello convulsivo
non sia dovuto a una biforcazione. Se così fosse, le
terapie cliniche potrebbero trarne grande vantaggio,
perché si potrebbero trovare farmaci capaci di
allontanare i parametri dal valore critico.
Le strutture frattali del corpo umano si sviluppano
attraverso uno sviluppo lento: la dinamica
dell'evoluzione embrionale. Probabilmente l'insieme delle
strutture frattali degli organismi viventi si sviluppa
attraverso informazioni molto limitate dei parametri di
un complesso algoritmo, determinando lo sviluppo verso
l'insieme delle forme frattali componenti l'organismo.
In conclusione, la medicina sembra uno dei settori più
fertili della scienza per lo sviluppo e lo studio dei
frattali e delle dinamiche caotiche. Gli studiosi hanno
bisogno di comprendere meglio come i processi di sviluppo
possono portare alla formazione di architetture frattali
e di come nel corpo umano il caos apparente sia generato
dai processi dinamici.
|